とある物理学徒の雑記帳

勉強記録や日常などについて適当に書き連ねるブログ

正則関数について

複素関数

今現在大学の授業でやっている複素関数についてまとめる。学期途中から始めたブログなので、初めから勉強する人には中途半端な記事であるが悪しからず。これからも似た形で様々な分野のものを書く予定。

正則関数

・関数 $f(z)$ が $z=z_0$ 近傍で微分可能な時、 $z=z_0$ で正則であると言う。

・正則関数：定義域全体で正則な関数。

・整関数：複素平面全体で微分可能な関数。

・ある点 $z=z_0$ で正則では無く、 $z=z_0$ のどんなに小さい近傍を取ってもその中

の少なくとも一点では正則であるとき $z=z_0$ はf(z)の特異点であるという。

[例]

・ $f(z)=1/z はｚ＝０$ で微分できないため $z\neq0$ の領域で正則な関数。

・ $f(z)=zは整関数。一般にf(z)=\sum_{n=0}^Na_nz_n (a_n\in\mathbb{C})は整関数。$

・ $f(z)=|z|^2は全ての点で正則でない。z=0$ で微分可能であるがその点を含む僅かでも小さい領域でも $z=0$ を除いて微分可能ではない。これは正則である条件を満たさない。

定理　3-7

$f(z),g(z)が領域Dで正則\Rightarrow f(z)+g(z),f(z)g(z),f(z)/g(z) (g(z)\neq0)はDで正則$

定理　3-8

正則関数の合成関数は正則

定理　3-9

$領域Dでf'(z)=0 \to Dでf(z)=定数$

[証明]

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y) とおく。Dの各点でf'(z)=0より$

$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}=0$

よって

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0$

$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0$

となる。よってuとvは定数となり、f(z)も定数となる

・調和関数：1,2階微分が連続でありかつ、ラプラス方程式 $\nabla^2f=0$ を満たす関数。

定理　3-10

$領域Dで関数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)が正則 \Rightarrow u(x,y),v(x,y)はDで調和関数$

[証明]

$f$ は正則なのでコーシー・リーマン方程式

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$

が成り立つ。これらをxで偏微分

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y},$

$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y},$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 v}{\partial y^2},$

$\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},$

となる。これらを整理して

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$

$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$

が得られる。したがって、 $u(x,y),v(x,y)$ は調和関数

・微分可能性の議論とは関係なしに一般に二つの実関数 $u(x,y),v(x,y)$ がコーシー・リーマン方程式を満たすとき、 $u,v$ は互いに調和共役の関係にあるという。また、一方がもう一方の共役調和関数であるという。

感想

TeX表記の記入なかなかつかれるぞ。複素関数もシンプルなのに覚えることが多くて大変だ。